На страницах нашего журнала мы уже говорили о проблемах, связанных с предсказуемостью поведения природы, свободой выбора и предопределенностью. Теперь мы вновь возвращаемся к этим вопросам с несколько иной точки зрения, пытаясь посмотреть на подходы современной науки к описанию точности открытых ею законов.
Можно ли точно описать мир
Науку, законы и положения которой выражены в виде математических соотношений и формул, принято называть «точной». Этот почетный титул прочно закрепился, например, за физикой и химией. А вот гуманитарные дисциплины — социологию, историю или даже экономику - как-то язык не поворачивается наградить таким термином, несмотря на то что в последние десятилетия и им стали не чужды количественные описания закономерностей и математическое моделирование, — все-таки мы с опаской относимся к предсказаниям, сделанным «до числа», в экономике или политике.
Мы с гордостью видим вокруг успехи точных наук - колоссальное разнообразие надежно работающей техники, информационные сети, полеты на Луну, Марс и Венеру, системы навигации, с точностью до сантиметров указывающие наши координаты в любом районе земного шара...
Однако любая наука описывает природу лишь с некоторой конечной точностью. Попытка сравнить расчетное значение с реальным (например, математическую модель траектории спутника с его истинными координатами) приводит к необходимости сравнения двух приближенных чисел - результатов вычислений и измерений, а ни то, ни другое мы не умеем выполнять с бесконечной точностью. Уменьшение погрешностей расчета и измерения не приведет к успеху - рано или поздно мы убедимся, что что-то в своих формулах мы не учли, посчитав второстепенным, или просто выясним, что реальность несколько сложнее, чем мы ее себе представляем. Действительно, оказывается, что даже такой незыблемый принцип классической науки, как закон сохранения энергии, на малых интервалах времени может нарушаться.
Два подхода - вероятность и возможность
Ученый люд крайне любопытен. И если уж обнаружит что-то непонятное, то старается найти в нем определенные закономерности, описать это явление так, чтобы потом в схожих ситуациях знать, каких подвохов можно ждать от Природы. И вот перед нами проблема: результаты наблюдений не совпадают с предсказаниями. Может быть, ввести поправки и уточнить расчеты? Но не получается - оказалось, что от наблюдения к наблюдению результаты меняются, хотя условия проведения эксперимента остаются, вроде бы, неизменными. Как изучать такую ситуацию?
Стандартный путь точной науки - исследование частоты того или иного исхода эксперимента - получил название стохастического (вероятностного). При таком описании исход каждого конкретного эксперимента непредсказуем, можно говорить лишь о его вероятности.
Невозможность точного описания реальности вызывает беспокойство: как же жить в таком мире, характеристики которого нельзя однозначно определить? Все становится расплывчатым, неясным... Однако мы постоянно встречаемся с такими ситуациями, не ощущая при этом дискомфорта. Вот пример: при общении между собой мы пользуемся словами, смысл которых неоднозначен и нечеток. И это относится не только к неточностям речи - каждое слово, даже очень конкретное, имеет множество смыслов. Слова складываются в фразы, фразы - в повествования; казалось бы, неопределенность должна расти! И тем не менее мы прекрасно понимаем друг друга. Как описать математически такую ситуацию? В ней нечеткость выступает как внутреннее свойство объектов и никак не связана с вероятностью. Поиски таких математических моделей привели к рождению теории возможности - альтернативы вероятностного подхода.
Вероятность как частота исхода
Результат, изменяющийся от случая к случаю, так и получил название случайного. Мы принципиально не можем знать, чем закончится эксперимент со случайным исходом, как будто кто-то невидимый (как написано в одной научной книге — богиня случая Тихе) постоянно вмешивается в регулярное течение природных процессов, не давая нам успокоиться в своем «всезнании». Что же, раз исход в единичном испытании непредсказуем, для поиска закономерностей ученые стали исследовать частоту появления тех или иных исходов в длинной серии независимых экспериментов, связывая ее с вероятностью. Потребность в таких исследованиях возникла еще в XVII веке в связи со жгучим желанием заинтересованных лиц выиграть в рулетку, карты и другие азартные игры, получившие тогда широкое распространение. «Социальный заказ» нашел своих исполнителей в лице величайших математиков того времени - Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Позже свои таланты в этой области проявили Лаплас, Гаусс, Пуассон - так возникла классическая теория вероятностей.
Но в строгую математическую дисциплину, построенную на аксиомах, подобно геометрии Евклида, эта наука превратилась лишь в первой половине ХХ века. А чтобы аксиоматическая теория описывала реальность, нужна ее интерпретация, связывающая абстрактные математические понятия с реальными наблюдаемыми величинами. Основой такой интерпретации, установившей, что вероятность события проявляется как частота его появления в длинной (бесконечной) серии независимых испытаний, явились специальные теоремы, получившие образное название Законов Больших Чисел.
Вероятностный подход не всемогущ
Итак, возникла математическая теория, описывающая различия между реальностью и расчетом. Причина таких различий объяснялась по-разному - недостатком наших знаний, наличием множества мелких неучтенных причин, принципиальной неопределенностью параметров, придуманных нами для описания Природы... Но вне зависимости от этого успехи применения вероятностного подхода впечатляли. Например, сейчас нам ясно, как из множества случайных (то есть заранее неопределенных) исходов могут складываться исходы почти достоверные, мы научились грамотно вычислять случайные ошибки, поняли, как строить математические модели явлений в условиях неопределенности. В рамках теории вероятности сравнением результатов наблюдений, проведенных с погрешностью, и предсказаний науки проверяются научные теории и гипотезы, и по результатам измерений наиболее точно оцениваются значения характеристик и параметров, описывающих реальность.
Вероятность из области точных наук распространяется все шире и шире, и вот уже к ней обращаются почти в любой ситуации, где в условиях проведения исследования имеется хоть какая-нибудь неоднозначность. Конкретный жизненный пример: какова вероятность того, что я сейчас отравлюсь «этой вашей заливной рыбой»? Можно, конечно, рассмотреть мысленный эксперимент, в котором бесконечный ансамбль личностей поедает рыбу, изготовленную в заданных условиях, - тогда процент выживших и даст искомую вероятность. Но как мне поможет знание того, что 99 из 100 дегустаторов не пострадают, если рыбу предстоит кушать именно мне? Ведь вероятность работает только для ансамбля множества и непригодна для описания единственного, конкретного объекта.
Еще одно сомнение
Кроме того, вероятностное описание годится лишь в так называемых условиях статистической регулярности, когда частоты появлений тех или иных событий не меняются от эксперимента к эксперименту. А вот здесь возникает очень интересный вопрос. Как-то всегда молчаливо предполагается, что уж все реальные явления со случайными исходами - такие, например, как возникновение погрешности измерений - этой регулярностью обладают. Но спросите любого, кто когда-нибудь занимался настройкой экспериментального оборудования, и он обязательно вспомнит день, когда вдруг ошибки измерений переставали вести себя «в рамках дозволенного», неожиданно выросли и стали «забивать” полезный сигнал. В арсенале каждого есть также и воспоминания о безуспешных попытках, вооружившись отверткой и паяльником, вернуть обезумевший шум в привычное русло, кончавшихся тем, что по неизвестной причине все само собой приходило в норму.
Фантастическое предположение, что характеристики погрешностей могут сами по себе изменяться со временем, причем синхронно в достаточно больших областях Вселенной, заставило ряд исследователей (в частности, научную группу под руководством профессора С.Э. Шноля) провести эксперименты по изучению шумовых процессов в разных точках земного шара. И обнаружилось, что, возможно, есть причины сомневаться в адекватности описывающей их стохастической модели. Складывается такое впечатление, что весь мир “дышит” - изменяет какие-то свои, неизвестные нам, параметры, и это отражается во всплесках шумовых сигналов, отмечающихся одновременно и в середине Тихого океана, и в подмосковном городке, и в Заполярье. Все это настолько непривычно для сложившихся на сегодняшний день представлений о реальности, что сообщения об этих исследованиях появляются пока лишь в очень осторожной форме.
Нечеткие модели
В 60-х годах ХХ века американский радиоинженер А. Заде опубликовал статью, которая положила начало новой науки, впоследствии получившей название нечеткой математики. В ней речь шла о так называемых нечетких множествах. В обычной математике множество элементов считается заданным, если про любой элемент известно, принадлежит он этому множеству или нет. Но можно придумать такие множества, про которые этого нельзя сказать однозначно.
Вот, например, множество высоких людей. Как его задать? Ну, если человек имеет рост под два метра, то, скорее всего, он принадлежит этому множеству. А вот если метр восемьдесят, кто-то и засомневается, стоит ли его считать высоким - видали же мы все баскетболистов… Можно сказать, что он принадлежит этому множеству “до некоторой степени”. Еще один пример - известный «парадокс кучи зерна”. Два зернышка - не куча. Три - тоже, скорее всего, нет. Вот миллиард - ну, ясно, куча. А в промежутке?
В первом примере важно то, что чем выше человек, тем больше возможность включения его в «нечеткое множество высоких людей». Так же и во втором: чем больше зерен, тем больше возможность назвать их кучей. И хотя эта возможность какого-либо утверждения или события в нечеткой математике задается некоторым числом (нулем - если что-то невозможно, единицей - если вполне возможно и числом между нулем и единицей - если возможно до некоторой степени), конкретное ее числовое значение совершенно не важно, а используется исключительно для того, чтобы сравнить его со значением возможности другого события и выяснить, какое из них более возможно. Таким образом, с точки зрения нечеткой математики весь мир можно представить в виде событий, выстроенных в цепочку, в начале которой идут самые возможные события, а в конце - совершенно невозможные.
На первый взгляд такая математика кажется чрезвычайно бедной. Ну, действительно, как можно описать реальность, если нельзя использовать знания о количественных характеристиках явления, а только о порядке, определяемом его возможностью? Но, тем не менее, оказалось, что в рамках моделей теории возможности можно решать множество важнейших проблем, например проблему оптимального выбора, ту самую, частные задачи которой мы постоянно и порой неосознанно решаем в своей жизни.
Действительно, ведь, для того чтобы выбрать стратегию поведения, влекущую наименьшие потери, нам в первую очередь важно знать, что все другие стратегии хуже, и только потом мы интересуемся, насколько хуже. А для ответа на первый вопрос и нужно лишь построить цепочку стратегий, упорядоченных по возможности потерь.
Ну а какое отношение теория возможностей имеет к обсуждаемой нами проблеме точности научного описания реального мира? Оказалось, что и для таких “бедных” теоретико-возможностных моделей можно построить и методы проверки гипотез, и методы оптимального оценивания. Причем, несмотря на то что построение теоретико-возможностных моделей требует значительно меньше исходных сведений, чем это нужно для теоретико-вероятностных, результат подчас не хуже, а во многих ситуациях и лучше.
Нечеткость как фундаментальное свойство мира
Но все же остается вопрос: можно ли вообще обойтись без нечеткости, можно ли в принципе определить «бесконечно точно» числовые значения тех параметров, которыми мы пытаемся описать мир в его математических моделях? Можно ли надеяться на то, что когда-нибудь, пусть через бесконечное число поколений, мы обретем знание обо всех механизмах действия природы и научимся бесконечно точно измерять и вычислять? Ответ в какой-то степени дает физика микромира, объявляющая, что фундаментальным свойством микрообъектов является неопределенность значений их параметров. Чтобы описать этот факт математически, в квантовой физике используют стохастические модели, в которых «амплитуды вероятностей» проявляются в частоте повторяющихся исходов или в экспериментах, в которых участвуют большие ансамбли объектов. Тем самым свойства объектов связываются с процессом их наблюдения. А если нет возможности наблюдать последовательности явлений? Тогда можно предположить, что сами объекты микромира «нечетки» и характеризуются лишь возможным набором значений с указанием порядка от более возможных к менее возможным. В таком нечетком мире нет полной предопределенности, его будущее размыто и может быть реализовано во множестве вариантов.
* * *
Уже привычным стало представление о том, что математика нужна лишь для вычислений. А число, учат нас в средней школе, - это то, что служит для выражения количества. Как-то даже обидно - после того: во времена античности числам приписывали великую тайную силу, способность управлять миром, в них видели зашифрованными высокие принципы эволюции - а в современном мире их роль сведена до положения «слуг точных наук». Но вот в последнее столетие в математике появился ряд разделов, в которых конкретные значения результатов расчета не важны, а математическая модель нужна для того, чтобы определить, по какому из возможных путей пойдет развитие в описываемой ситуации. Такова, например, качественная теория динамических систем, выводы которой имеют скорее философскую, нежели количественную, ценность («выживет» или нет та или иная система, сохранит ли устойчивость или разрушится и т. п.). К этим же разделам относится и обсуждаемая здесь теория возможностей - в ней числа используются уже не только для описания количества, но и для задания порядка. Может быть, так возвращается в наш мир одна из утраченных граней философского понимания математики?