Зачем мы изучаем математику? Чтобы нас не обсчитали в магазине или в банке? Да, наверное. Но для этого достаточно знать основные арифметические действия. А нам почему-то толкуют о геометрических теоремах, свойствах функций…
Можно ответить так: без математики не было бы науки, а значит, многих ее достижений, существенно облегчающих нашу жизнь. Ну и пусть бы тогда этой наукой занимались «яйцеголовые», их не так-то много и нужно. А всем-то зачем?
А оказывается, математика — это тот мостик, который соединяет нас с миром, где живут чистые идеи. Они бесплотны и невидимы, но ощутить их может тот, кто умеет мыслить абстрактно — так, как учит математика. А мир идей прекрасен, и ощутить его красоту помогает знание математических законов гармонии. Это знание позволяет видеть и создавать красоту, видеть присутствие Божественного (читай: природного) закона в окружающем и в нем самом. Видеть, что Бог не бесконечно далек, а рядом, и к нему можно прийти, обращаясь к прекрасному и создавая его. Ведь стремление к красоте может быть тем путем, на котором достигается гармония во взаимоотношениях человека с миром, с другими людьми и с самим собой. Числа правят миром, а значит, и каждым из нас…
Математика, как учат нас в школе, появилась из насущных потребностей людей: надо было как-то считать членов племени, добычу, домашний скот (так появилась арифметика), а потом — измерять участки земли (отсюда пошла геометрия). И кажется, что это естественно — считать мамонтов поштучно или измерять площадь квадратиками. И никакой загадки здесь нет.
Но все-таки без таинственного изучать математику скучно, трудно и противно. А поэтому давайте попробуем удивиться, как ребенок, встречающийся с этой наукой впервые.
Удивление вызывают парадоксы. А в этой области их множество. И вот первый из них: математика — наука о несуществующем, точнее, о невидимом. Ведь нет такой вещи, которая называется «число»: его нельзя потрогать, увидеть… Это лишь идеальная сущность, абстракция, нечто объединяющее многие разрозненные восприятия окружающего нас мира. Это же относится и к геометрическим фигурам, хотя и в меньшей степени, потому что точку или отрезок прямой можно если не нарисовать, то хотя бы представить как зримый образ. Реальная точка на бумаге, в отличие от математической, имеет хотя и достаточно малый, но все же ненулевой размер, так что нарисовать математическую точку действительно нельзя.
В этом смысле математика — наука о мире идей, а не о мире вещей. Из-за этого многие даже отказывают ей в праве называться наукой, считая, что она лишь специальный язык, всеобщий язык, на котором все-таки можно изъясняться и объяснять, как устроен мир.
И в этом еще один парадокс: как может математика — наука об идеальном — все-таки описывать мир существующих вещей? Этот вопрос мучил еще многих мудрецов античности и продолжает волновать умы современных ученых.
Священный Тетраксис пифагорейцев
Пифагор, например, считал, что миром правят числа. Вот уж точно удивительно: почему числа, а не боги, не законы природы, не цари, президенты, парламенты? Ну, с царями — вопрос особый: если кто-то думает, что он может править вопреки законам божественным или природным, то Бог ему судья… Поэтому остановимся на богах и природе, тем более что особой разницы между ними можно и не углядеть. А законы природы, оказывается, математичны, в этом великая догадка знаменитого мудреца. Одно из наиболее известных математических правил нашего мира известно как теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Смотрите-ка: В ЛЮБОМ! Какой ни возьми. А почему? Не измерял же Пифагор квадраты гипотенуз всех прямоугольных треугольников? Нет, он нашел правило, принцип. Закон природы или Бога. Он научился размышлять подобно Богу, и эти размышления оказались математическими, идеальными. А наш мир — «только тени от незримого очами».
Но не одни лишь арифметические и геометрические правила виделись мудрецами античности как основа мира. Числа «один», «два», «три» символизировали великие принципы Единства, Двойственности, Троичности.
Единство — единое начало, источник всего сущего, великая изначальная сила, рождающая Вселенную. Эти представления характерны как для мифологического, так и для современного способа восприятия мира. С Единством связан и древнегреческий Хаос, и Парабрахман индийских Вед, и Дао китайской философии. В современных научных космогонических теориях единое начало нашло свое отражение в теории Большого взрыва, «единую силу» ищут сейчас физики в теории, объединяющей четыре известных типа взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. В мифологии Единое скрыто, не проявлено, недоступно для нашего понимания. В науке причина также скрыта: физика не в силах объяснить, почему произошел Большой взрыв, почему именно так проявляются те или иные фундаментальные взаимодействия, зато достаточно точно описывает, как они проявляются.
Двойственность возникает, как только мир начинает проявляться «из ничего». Возникает противоположность «проявленное — непроявленное». Более развитый мир мы также воспринимаем через противоположности: в нем существуют добро и зло, свет и тьма, тепло и холод, идеальное и материальное…
Однако мир разорвется в противоречиях и не сможет существовать, если эти противоположности не окажутся соединенными, связанными между собой, чем-то уравновешенными. Это Третье, уравновешивающее противоположности путем гармоничной связи, выражается принципом Троичности и символически связано с числом «три». Триединство Бога прослеживается в триадах египетской религии, в индуизме (Тримурти), в христианстве. О необходимости третьего элемента для разрешения двоичного противостояния противоположностей говорит профессор Р. Баранцев: «Внимательно изучая семантические свойства системных триад, сложившихся в самых разных культурных традициях, можно увидеть следующую закономерность: в одном из элементов любой триады доминирует аналитическое начало, в другом — качественное, в третьем — субстанциальное. Источник этой закономерности кроется, вероятно, в триединой природе человека, в его способности мыслить одновременно и понятиями, и образами, и символами». Элементы, из которых состоит системная триада, Баранцев называет интуицио, эмоцио и рацио. Противоположности эмоциональности и рациональности могут уравновеситься интуитивностью, как, например, философия или религия может дополнить и тем самым уравновесить противоположности науки и искусства. Примером системной триады является и сама математика: она состоит из аксиом, определений и теорем. Здесь определения имеют эмоциональную окраску, так как выражают вкусы и предпочтения исследователя, теоремы связаны с логически выверенными доказательствами и являют рациональную составляющую, а аксиомы есть истины, постигаемые интуитивным путем.
Таким образом, с числами «один», «два», «три» связаны динамические принципы, определяющие пути и способы становления Космоса как упорядоченного мира (космос в переводе с греческого «порядок», «организованный мир») из Хаоса как первопричины.
Космос этот строится в мире пространства и времени, с которым символически связано число «четыре». В пространстве в разных традициях выделяются четыре направления (восток — запад и север — юг), а во временных циклах четыре символических этапа: «утро», «день», «вечер» и «ночь».
Таким образом, первые четыре числа символически связываются с возникновением Космоса, его развитием и местом (ареной), где он рождается и развивается.
Первые четыре числа пифагорейцы называли Тетраксисом. Он символизировал все самые сокровенные тайны мира и считался священным: именем Тетраксиса клялись, и эта клятва была нерушима. Немалую роль играло и то, что из этих чисел путем сложения можно получить и все оставшиеся числа первой десятки: 10 = 1 + 2 + 3 + 4. А число «десять» служило символом завершенного этапа, после которого следовало рождение новой формы Космоса, подчиняющееся тем же принципам Единства, Двойственности и так далее.
Пифагорова гамма и музыка сфер
Со священным Тетраксисом связан еще один закон гармонии Космоса, который выражается в законах музыкальных созвучий.
Вдохновившись игрой пианиста, мы подчас тоже подходим к роялю и пытаемся извлечь из него потоки звуков, радующих душу. Но почти наверное вместо этого у нас получается нечто весьма немелодичное. Почему? Потому что мы нарушаем закон музыкальной гармонии. Математическое выражение этого закона легенда также приписывает Пифагору и его ученику Архиту.
Чтобы пояснить этот закон, возьмем музыкальный инструмент, состоящий из двух одинаковых струн, длину которых можно менять, прижимая их к грифу, подобно тому как это делает скрипач или гитарист. Совместное звучание, издаваемое струнами, наиболее благозвучно, если длины струн находятся в правильном численном отношении друг к другу: звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа Тетраксиса, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. Причем чем меньше число n в отношении n:(n + 1) (n = 1, 2, 3), тем более гармоничным кажется созвучие.
В Средние века эти созвучия были названы совершенными консонансами, это: октава (если длины струн относятся как 1:2), квинта (если длины струн относятся как 2:3), кварта (если длины струн относятся как 3:4).
На основе этих созвучий была построена совершенная пифагорова гамма. Пусть звучание двух струн образует октаву. Звуки, издаваемые струнами, сопоставим с нотами «до» первой и второй октав. Пусть далее одна струна звучит как нота «до» первой октавы, а вторая составляет с ней квинту, — назовем ее звучание нотой «соль» первой октавы. Точно так же нотой «фа» первой октавы назовем звучание струны, составляющей квинту с нотой «до» второй октавы. Ноты можно графически изобразить на отрезке прямой, как это сделано на рисунке слева внизу. Расстояние между нотами назовем интервалом, он измеряется отношением длин звучащих струн. Так, интервал между нотами «до» первой и второй октав равен 2:1, это октава; интервал между «до» и «соль» первой октавы, так же как и между «фа» первой и «до» второй октав, равен 3:2, это квинта.
Тогда окажется, что «до» и «фа» первой октавы и «соль» первой и «до» второй октавы образуют кварту. Интервал между нотами «соль» и «фа» составляет тон, он равен 9/8, полутоновый же интервал имеет величину 256:243. На основании этого строится вся октава.
Именно эту гармонию признают музыканты с идеальным слухом. Однако, исходя из удобства перехода к различным тональностям, в настоящее время пользуются устройством музыкальной гаммы, основанном на интервалах, составляющих геометрическую прогрессию. Несовершенство этой гаммы может ощутить только хорошо тренированное ухо, тем не менее эксперименты с пифагоровой гаммой продолжаются и в наше время.
Во все времена считалось, что идеальное расположено на небе, именно оно демонстрирует непреложный порядок чередования дня и ночи, движения небесных созвездий и других светил. По свидетельству Пифагора, идеальные гармонические пропорции, основанные на законах Тетраксиса, то есть на отношениях 1:2, 2:3 и 3:4, присущи как звучащей струне, так и строению Космоса. Считалось, что между землей и небом натянуты невидимые струны, и планеты в своем движении заставляют их звучать, образуя небесную музыку сфер. Однако эта музыка недоступна физическому уху, но лишь «уху внутреннему», «уху души».
В каждом из нас тоже звучит своя мелодия, отражающая равновесие наших противоположных жизненных сил. И если она звучит в согласии с мировой гармонией, то человек здоров, нарушение же гармонии с космической музыкой сфер приводит к болезни. Помочь настроиться на ритмы Космоса может мелодия, создаваемая с помощью музыкальных инструментов, но опять-таки если ее источником является небесная гармония.
Вот так, по мнению пифагорейцев, числа правят и Вселенной, и человеком. То есть и Макрокосмом, и Микрокосмом.
Математика в философии Платона
Платон, которому приписывают открытие мира идей, дающего закон существования и развития вещей, так же как Пифагор, использовал числа и пропорции для описания развития Космоса. В диалоге «Тимей» он утверждает, что тело Вселенной Творец создал из огня и земли, а чтобы они были хорошо сопряжены между собой, Он использовал золотую пропорцию, когда «из трех чисел… при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему». Наряду с этим, по мысли Платона, фундаментальную роль в творении Космоса играли отношения целых чисел 1, 2, 3, 4, интервал в полтона пифагорейской музыкальной гаммы и так далее.
Платон, так же как и Пифагор, признавал влияние музыки на душу человека. Он считал, что музыка призвана воспитать гражданина идеального государства, построенного по тем же законам, что и космическое целое. Музыка служила «гимнастикой души», создавая человека, чья жизнь организована подобно идеальному движению небесных светил. Считалось, что музыкальные мелодии оказывают различное воздействие на душу человека, в зависимости от своей структуры, которая также описывалась математическими правилами чередования тонов и полутонов. В Греции наиболее возвышенным, мужественным и нравственно совершенным почитался дорийский лад; фригийский — возбуждающим и пригодным для войны, лидийский — женственным, изнеживающим и расслабляющим, а потому непригодным для воспитания.
Математический порядок небес
Представление о том, что мир живет по законам математики, характерно и для Средневековья. В это время широкое распространение получило сочинение Клавдия Птолемея «Великое математическое построение по астрономии в 13 книгах», созданное во II веке, более известное под своим арабским названием «Альмагест». В нем утверждалось, что небосвод имеет идеальную форму — форму сферы, форма Земли также идеальна, это шар, помещенный в центр мира; с помощью набора идеальных круговых движений объясняется видимое движение планет. Форма, выбранная для описания законов неба, умозрительная, она предложена из соображений красоты и симметрии, а не получена экспериментально.
Поиск выраженного математическим языком идеального продолжается и позже. Иоганн Кеплер утверждал, что «геометрия есть сам Бог», она «служит ему прообразом при сотворении мира». Поэтому «главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые Бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики». Неудивительно, что своим самым великим достижением Кеплер считал геометрическую модель Солнечной системы, основанную на правильных многогранниках (Платоновых телах). Согласно ей, орбита Меркурия является экватором сферы, вокруг которой описан октаэдр, по экватору сферы, описанной вокруг него, движется Венера и так далее. Ниже приведены погрешности, отличающие реальные орбиты от теоретически рассчитанных согласно модели Кеплера.
Планета Многогранник, вписанный Погрешность в соответствующую сферу радиусов
Меркурий
Венера Октаэдр 9,0%
Земля Икосаэдр 9,9%
Марс Додекаэдр 20,8%
Юпитер Тетраэдр 13,9%
Сатурн Куб 5,9%
Уран Октаэдр 16,1%
Нептун Икосаэдр 24,6%
Плутон Додекаэдр 3,5%
Другая модель Солнечной системы построена на основе эмпирической формулы, в которую входят числа от 1 до 4, то есть образующие Тетраксис. Это правило в 1766 году предложил немецкий математик И. Тициус, но получило оно известность после того, как его впервые опубликовал немецкий астроном И. Боде в 1772 году. Правило связывает среднее расстояние a планеты от Солнца с ее порядковым номером и выглядит следующим образом:
a = 0.1 (2n • 3 + 4),
где a — средний радиус орбиты планеты, выраженный в радиусах Земной орбиты (расстояние, равное среднему радиусу орбиты Земли, называется астрономической единицей). Здесь для Меркурия следует положить n = –?, так что 2–? = 0, для Венеры n = 0, так что 20 = 1, для Земли и Марса n = 1 и 2 соответственно, для Юпитера n = 4 и далее по порядку. Пропущенное значение n = 3 соответствует поясу астероидов, что дало, в частности, возможность предположить, что когда-то между Марсом и Юпитером обращалась еще одна планета, распавшаяся на части в результате космической катастрофы. Эта планета получила гипотетическое название Фаэтон.
Объект Отношение расчетного и реального радиусов орбиты
Меркурий 1,0333
Венера 0,96775
Земля 1
Марс 1,0502
Фаэтон ??????
Юпитер 0,99917
Сатурн 1,0436
Уран 1,0208
Нептун 1,2913
Плутон 1,9676
Это правило достаточно точно описывает радиусы первых семи планет от Меркурия до Урана. Причина столь хорошего совпадения астрономам неизвестна.
Математика. Бог. Вселенная. Человек
Издавна считалось, что математика — язык, который в наилучшей степени может помочь нам понять законы прекрасного. Источником красоты является гармония, упорядочивающая все части, вообще говоря различные по природе, согласно совершенным соотношениям. Человек может стать счастливым, стремясь к красоте, которую он чувствует душой.
Эти положения легли в основу множества философских теорий эпохи Возрождения и более поздних. В качестве примера приведем теорию красоты одного из титанов Возрождения флорентинца Леона Батиста Альберти, гуманиста, философа, писателя, архитектора, скульптора, художника. В его теории математика играет ведущую роль: он считает, что законы природы выражаются определенными числами, а красота — идеальный образ числа и идеальный образец для художника.
Математику пытались использовать не только для описания основных принципов развития мира и человека, но и для познания Бога. Так, Николай Кузанский, исходя из того, что божественное присутствует везде, дал начало исследованиям по интегральному и дифференциальному исчислениям, пытаясь из бесконечно малых дифференциалов сложить единый интеграл. Формально эта схема была воплощена в трудах Ньютона и Лейбница.
Ученые Нового времени, несмотря на наступление позитивизма, также видели Бога в простых и красивых математических законах.
Для эмпирика Джона Локка существовали лишь три несомненные истины — наше собственное существование, существование Бога и истинность законов математики.
Широко известно высказывание Лейбница «Cum Deus calculat, fit mundus», что значит: «Как Бог вычисляет, так мир делает». Вслед за философами Средневековья, такими, например, как Фома Аквинский, Лейбниц считал, что Бог не может действовать вопреки законам логики, но он может повелеть все, что логически возможно, и это предоставляет ему величайшую широту выбора.
Ньютон считал, что математическая красота и сила законов механики, оптики и так далее является наилучшим подтверждением существования Бога. Рассуждая об аналогиях в устройстве музыки и цвета, он писал об устройстве музыки: «…в нем содержится нечто от гармонии цветов (о которой знают художники, но о которой сам я не имею достаточно определенного суждения), подобной, может быть, созвучию тонов. Посему правдоподобным кажется сходство между крайним пурпуром (фиолетовым. — А. Ч.) и краснотой, — концами цветов — и между концами октавы (каковая может почитаться унисоном)». Этим он, по сути, продолжил пифагорейскую традицию поиска математических законов гармонии.
Иммануил Кант, размышляя о возможностях познания мира, пришел к выводу, что математические понятия не могут быть извлечены из опыта, они априорны, а следовательно, всеобщи и необходимы. «Математика дает нам прекрасный пример того, как далеко мы можем продвинуться в априорном знании независимо от опыта».
Ученые, благодаря трудам которых произошли колоссальные сдвиги в естествознании ХХ века, также отдавали должное математическому устройству мира. Анри Пуанкаре всеобщий характер математических законов выразил во фразе: «Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». Арнольд Зоммерфельд, один из творцов квантовой механики и современной математической физики, утверждал: «Платоновское выражение, что Бог является геометром, сегодня кажется более истинным, чем когда-либо. Мы все яснее видим, что наиболее общая математическая формулировка одновременно является и физически наиболее плодотворной». Схожим образом рассуждал и Поль Дирак: «Ситуацию, вероятно, можно было бы описать, сказав, что Бог является математиком очень высокого ранга и что он при построении Вселенной использовал математику высшего уровня». О необыкновенной силе и красоте математики размышлял Юджин Вигнер: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им».
***
Мы видим, что существует глубокая традиция, связывающая устройство мира и нашу способность его познания с математическими понятиями. Причина такой связи скрыта от нас, таинственна, часто она побуждает ученых прибегать при описании этого феномена к терминологии далекой от той, что характерна для научных текстов, а более свойственна текстам религиозным. Мне думается, что причина этого не в стремлении лидеров теоретического сообщества «освятить» эти принципы, «убедить в недоказуемом», а в искреннем удивлении перед тайной.
Дополнительно:
Математика нашла критерии, позволяющие «поверить алгеброй гармонию». Среди них наиболее известен закон золотого сечения, или золотой пропорции.
Золотое сечение — деление отрезка на части в таком соотношении, при котором большая часть так относится к меньшей, как сумма этих частей к большей части. Говорят, что точка А делит отрезок ВС в золотом отношении, если длина целого отрезка (ВС) относится к большей части (ВА) как длина большей части (ВА) к меньшей (АС).
Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой j, и она равна:
Впервые золотое сечение упоминается в математическом трактате «Начала» Евклида (III век до н.э.), но сам термин появился позднее, как полагают, благодаря Леонардо да Винчи.
Закон золотого отношения виден в архитектурных формах, созданных как в Европе, так и на Востоке; во многих природных объектах — в раковинах моллюска, междоузлиях растений, в раскраске животных… По законам золотой пропорции творили многие художники и скульпторы.
Золотая пропорция в цветке подсолнуха и Воротах Иштар
Поликлет. Дорифор (копьеносец). 450–440 гг. до н.э.
Математика — это то, посредством чего люди управляют природой и собой.
А. Н. Колмогоров
Если кто-либо хочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что это наука о бесконечности.
А. Пуанкаре
Книга философии — это то, что всегда раскрыто перед нашими глазами, но так как она написана иными буквами, чем буквы нашего алфавита, то она не может быть прочитана всеми: буквами этой книги являются треугольники, четырехугольники, круги, шары, конусы, пирамиды и другие математические фигуры, очень пригодные для чтения ее.
Г. Галилей
В старину задавали математические задачи боги, как, например, удвоение куба, по поводу измерения размеров Дельфийского жертвенника. Далее наступил второй период, когда задачи задавали полубоги: Ньютон, Эйлер, Лагранж. Теперь третий период, когда задачи задает практика.
П. Л. Чебышев
Наш опыт убеждает нас, что природа — это реализация самых простых математических идей.
А. Эйнштейн
В конце концов, математика — это лишь элементарная философия, а философия — это высшая математика вообще.
Новалис
Математика представляется силой человеческого духа, призванной вознаградить нас за несовершенство наших чувств и за краткость нашей жизни.
Ж. Фурье